Teori Himpunan (Tugas Matematika1)

Teori Himpunan

 

Nama   : A. Rachman Fauzi

NIM     : L2C008001

 

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah konsep dasar dari semua cabangmatematika. Gerorg Cantor dianggap sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik (well-defined set).

 

Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dan sebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja Jadi tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai {bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “…” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambing “ … ”

 

 

 

 

 

Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1. Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:

A = {a,e,i,o,u}

B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:

Perhatikan himpunan pada contoh 1 di atas dan bandingkan dengan

pendefinisian di bawah ini

A = Himpunan vokal dalam abjad latin

B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:

P = {0,2,4,8,10,…,48}

Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukanmerupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikansebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20.Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yangkurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakanpola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh:

P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}

(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})

Q = { t | t biangan asli}

(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

R = { s | s2-1=0, s bilangan real}

(Maksudnya R = {-1,1})

 

 

Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S atau U.

Contoh :

Kalau kita membahas mengenai 1, ½ , -2, -½ , 3 5 ,… maka semesta pembicaraan kita adalah bilangan real. Jadi himpunan semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R saja? Jawabannya tidak. Tergantung kita mau membatasi pembicaraanya. Pada contoh di atas bisa saja dikatakan semestanya adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta pembicaraan.

 

Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan “…” atau { }

Contoh:

– Himpunan bilangan bulat yang ganjil

– {x | x2… 0, x bilangan real}

– Himpunan orang yang tingginya 100 meter

 

Himpunan Bagian

Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A…B.

Jadi A…B jika dan hanya jika

X…A .. x…B

Jika ada anggota dari A yang bukan merupakan anggota B maka A bukan bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A…B.

Contoh:

– A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A…B.

– C = {a,b,c,1,2} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka C…B, karena ada anggota dari C yang bukan merupakan anggota B, yaitu a. (Pengertian “ada” berarti terdapat satu anggota C yang bukan merupakan anggota B, sudah cukup)

– Suatu himpunan pasti merupakan subset dirinya sendiri. Jadi H…H.

Bukti:

Ambil sebarang h…H, maka jelas h…H. Jadi H…H.

– Himpunan kosong (…) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.

Bukti:

Kalimat “x…A … x…B” pada pengertian himpunan bagian (lihat definisi di atas), selalu bernilai benar jika diambil A = … dan untuk sebarang himpunan B. Hal ini disebabkan syarat cukupnya selalu tidak terpenuhi. Sama saja dengan kita mengatakan “jika bulan bisa ngomong, maka dia tak akan bohong”. Kalimat ini selalu bernilai benar karena syarat cukupnya yaitu “bulan bisa ngomong” selalu tidak terpenuhi. Lebih lanjut mengenai hal ini akan dibicarakan dalam pembahasan mengenai LOGIKA.

 

Operasi Himpunan

Gabungan (Union)

Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A…B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi A…B = { x | x … A atau x … B }

Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A…B = {a,b,c,d,e,f,1,2}

 

Irisan (Intersection)

Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A…B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.

Jadi A…B = { x | x … A dan x … B }

Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. Maka A…B = {c}

P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. Maka A…B= …

 

Komplemen

Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ Ac “ adalah himpunan yanganggotanya berada dalam hiompunan semesta tetapi bukan berada di A.

Jadi Ac = { x | x… S, x… A }

Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Jika A = {0,2,4,6,…} maka Ac = {1,3,5,…}

 

Sifat-sifat operasi

Komutatif

Diberikan himpunan A dan B. Maka berlaku A…B = B…A dan juga A…B = B…A

Asosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C.

Maka berlaku (A…B)…C = A…(B…C) dan juga (A…B)…C= A(B…C).

Idempoten

Diberikan suatu himpunan A. Maka berlaku A…A=A dan juga A…A=A

Identitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S.

Maka A…S=A dan juga A…S=A

Distributif

Diberikan himpunan A,B dan C.

Maka A…(B…C) = (A…B)…(A…C) dan juga A…(B…C)=(A…B)…(A…C)

Komplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A…Ac = S dan A…Ac = …

Dalil De Morgan

Diberikan himpunan A dan B. Maka (A…B)c = Ac … Bc dan (A…B)c = Ac … Bc

Categories: Umum | Tags: | Tinggalkan komentar

Navigasi pos

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Buat situs web atau blog gratis di WordPress.com.

%d blogger menyukai ini: